三個月大嬰兒咳嗽的處理方法如下：
1. 夜間抬高寶寶頭部：如果寶寶入睡時咳個不停，可將其頭部抬高，咳嗽癥狀會有所緩解。頭部抬高對大部分由感染而引起的咳嗽是有幫助的，因為平躺時，寶寶鼻腔內的分泌物很容易流到喉嚨下面，引起喉嚨搔癢，致使咳嗽在夜間加劇，而抬高頭部可減少鼻分泌物向后引流。還要經常調換睡的位置，最好是左右側輪換著睡，有利于呼吸道分泌物的排出。
2. 熱飲止咳法：多喝溫熱的飲料可使寶寶黏痰變得稀薄，緩解呼吸道黏膜的緊張狀態，促進痰液咳出。最好讓寶寶喝溫開水或溫的牛奶、米湯等，也可給寶寶喝鮮果汁，果汁應選刺激性較小的蘋果汁和梨汁等，不宜喝橙汁、西柚汁等柑橘類的果汁。
3. 避免接觸過敏原：如果寶寶咳嗽是由過敏所致，需要在明確過敏原后進行對應措施，如清理動物毛發、清潔床單被褥、噴灑除螨噴霧等。
4. 藥物治療：咳嗽嚴重者，若伴有發熱、頭痛等癥狀，可能是由于上呼吸道感染所致，屆時需要在醫生指導下應用非甾體抗炎藥物、抗生素藥物促進恢復。同時針對咳嗽癥狀，可應用復方甘草口服溶液、氫溴酸右美沙芬糖漿、鹽酸二氧丙嗪顆粒等藥物治療。
5. 中醫治療：中醫針對咳嗽，需要辨證論治。如風寒咳嗽者可應用正柴胡飲顆粒、強力枇杷露、感冒清熱顆粒等藥物疏風散寒、宣肺止咳。風熱咳嗽者需要應用風熱感冒顆粒、通宣理肺丸、通竅鼻炎顆粒等疏風清熱藥物。痰熱郁肺者則可應用肺寧片、橘紅丸、清金止嗽化痰丸等藥物治療。
以上措施僅供參考，如果咳嗽癥狀持續或加重，請及時就醫。
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